2007年数学一试题解析
一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 当
时，与
等价的无穷小量是
(A)
. (B)
. (C)
. (D)
. [
B ]
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【
详解】当
时，有
；
；
利用排除法知应选(B).
(2) 曲线
，渐近线的条数为
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
【
详解】 因为
，所以
为垂直渐近线；
又 
，所以y=0为水平渐近线；
进一步，
=
，
=
=
，
于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).
(3) 如图，连续函数
y=
f(
x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设
则下列结论正确的是
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
. [
C ]
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【
详解】 根据定积分的几何意义，知
F(2)为半径是1的半圆面积：
，
F(3)是两个半圆面积之差：
=
， 因此应选(C).
(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是：
(A) 若
存在，则
f(0)=0. (B) 若
存在，则
f(0)=0.
[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.
若
存在，则
，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：
在
x=0处连续，且
(5) 设函数
f (
x)在
上具有二阶导数，且
令
,
则下列结论正确的是：
(C) 若
，则
必收敛. (D) 若
，则
必发散. [
D ]
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【
详解】 设
f (
x)=
, 则
f (
x)在
上具有二阶导数，且
，但
发散，排除(C); 设
f(
x)=
, 则
f (
x)在
上具有二阶导数，且
，但
收敛，排除(B); 又若设
，则
f(
x)在
上具有二阶导数，且
，但
发散，排除(A). 故应选(D).
(6)设曲线
具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点
M和第IV象限内的点
N，
T为
L上从点
M到点
N的一段弧，则下列小于零的是
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
. [
B ]
【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。
【
详解】 设
M 、
N点的坐标分别为
. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
;
;
;
.
故正确选项为(B).
(7) 设向量组
线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A)
. (B)
.
(C)
. (D)
. [
A ]
【详解】用定义进行判定:令
，
得
.
因
线性无关，所以
又
，
故上述齐次线性方程组有非零解, 即
线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
(8) 设矩阵
,
, 则
A与
B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]
【详解】 由
得
A的特征值为0, 3, 3, 而
B的特征值为0, 1, 1，从而
A与
B不相似.
又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .
(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)
． (B)
.
(C)
． (D)
． [
C ]
【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：
. 故选(C) .
(10) 设随机变量(
Ｘ,
Ｙ)服从二维正态分布，且
Ｘ与
Ｙ不相关，
分别表示
Ｘ，
Ｙ的概率密度，则在
Ｙ＝
y的条件下，
Ｘ的密度
为
(A)
． (B)
． (C )
. (D)
． [
A ]
【详解】因(
Ｘ,
Ｙ)服从二维正态分布，且
Ｘ与
Ｙ不相关，故
Ｘ与
Ｙ相互独立，于是
=
. 因此选(A) .
二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11)
=
【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【
详解】
=
【
详解】 利用复合函数求偏导公式，有
=
(13)二阶常系数非齐次线性微分方程
的通解为
其中
为任意常数.
【
详解】 特征方程为
，解得
可见对应齐次线性微分方程
的通解为
设非齐次线性微分方程
的特解为
，代入非齐次方程可得k= ?2. 故通解为
【
详解】 由于曲面
关于平面
x=0对称，因此
=0. 又曲面
具有轮换对称性，于是
(15) 设矩阵
, 则
的秩为1.
【详解】依矩阵乘法直接计算得
, 故
r(
)=1.
(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于
的概率为
．
【详解】这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间
, 记
.
三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17) (本题满分11分)
求函数
在区域
上的最大值和最小值。
【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
得开区域内的可能极值点为
.
其对应函数值为
又当y=0 时，
在
上的最大值为4，最小值为0.
当
，构造拉格朗日函数
比较函数值
，知
f(
x,
y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.
(18) (本题满分10分)
计算曲面积分
其中
为曲面
的上侧。
【
分析】本题曲面
不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。
【
详解】 补充曲面：
，取下侧. 则
=
由于区域
D关于
x轴对称，因此
. 又
=
其中
.
(19)(本题满分11分)
设函数
f(
x),
g(
x)在[
a,
b]上连续，在(
a,
b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(
a)=
g(
a),
f(
b)=
g(
b), 证明：存在
，使得
【
分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令
，则问题转化为证明
, 只需对
用罗尔定理，关键是找到
的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用
F(
a)=
F(
b)=0, 若能再找一点
，使得
，则在区间
上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对
用罗尔定理即可。
【
证明】构造辅助函数
，由题设有
F(
a)=
F(
b)=0. 又
f(
x),
g(
x)在(
a,
b)内具有相等的最大值, 不妨设存在
,
使得
，
若
，因
，从而存在
，使
在区间
上分别利用罗尔定理知，存在
，使得
.
， 即
(20) (本题满分10分)
设幂级数
在
内收敛，其和函数
y(
x)满足
(I) 证明：
(II) 求y(x)的表达式.
【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。
即
故有
即
(II)由初始条件
知，
于是根据递推关系式
有
故
(21) (本题满分11分)
设线性方程组
①
与方程
②
有公共解，求a的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.
【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:
③
若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵
作初等行变换得:
.
于是1° 当
a=1时，有
=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
，
此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:
,
所以①与②的全部公共解为
，
k为任意常数.
2° 当
a =2时，有
=3，方程组③有唯一解, 此时
，故方程组③的解为:
, 即①与②有唯一公共解: 为
.
(22) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵
Ａ的特征值
是
Ａ的属于
的一个特征向量,记
其中
为3阶单位矩阵.
(I) 验证
是矩阵
Ｂ的特征向量，并求
B的全部特征值与特征向量．
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.
【详解】(I) 由
得
,
进一步
,
，
故
，
从而
是矩阵
Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因
, 及
Ａ的3个特征值
得
B的3个特征值为
.
设
为
B的属于
的两个线性无关的特征向量, 又
为
Ａ对称矩阵，得
B也是对称矩阵, 因此
与
正交, 即
所以
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
,
即
B的全部特征值的特征向量为:
,
, 其中
,是不为零的任意常数,
是不同时为零的任意常数.
得
(23) (本题满分11分)
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
(I) 求
；
(II) 求
Z＝
Ｘ+
Ｙ的概率密度
.
( II) 先求Z的分布函数:
当
z<0时,
;
；
；
当
时,
.
故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度
(24) (数1, 3)(本题满分11分)
设总体X的概率密度为
其中参数
(0<
<1)未知,
是来自总体
X的简单随机样本,
是样本均值
(I) 求参数
的矩估计量
；
(II) 判断
是否为
的无偏估计量,并说明理由.
【详解】(I)
令
, 其中
，
(II)
,
而
，
所以
不是
的无偏估计量.